【題目】已知數(shù)列,如果存在常數(shù)p,使得對(duì)任意正整數(shù)n,總有成立,那么我們稱數(shù)列為“p-擺動(dòng)數(shù)列”.
(Ⅰ)設(shè),,,判斷、是否為“p-擺動(dòng)數(shù)列”,并說(shuō)明理由;
(Ⅱ)已知“p-擺動(dòng)數(shù)列”滿足,,求常數(shù)p的值;
(Ⅲ)設(shè),且數(shù)列的前n項(xiàng)和為,求證:數(shù)列是“p-擺動(dòng)數(shù)列”,并求出常數(shù)p的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)數(shù)列不是“p-擺動(dòng)數(shù)列”,數(shù)列是“p-擺動(dòng)數(shù)列”,詳見解析;(Ⅱ);(Ⅲ)證明見解析,p的取值范圍是.
【解析】
(Ⅰ)假設(shè)數(shù)列是“p-擺動(dòng)數(shù)列”,通過(guò)對(duì)取特殊值,可以證明出數(shù)列不是“p-擺動(dòng)數(shù)列”;
通過(guò)數(shù)列的通項(xiàng)公式和指數(shù)運(yùn)算的法則,結(jié)合“p-擺動(dòng)數(shù)列”的定義,可以證明出數(shù)列是“p-擺動(dòng)數(shù)列”;
(Ⅱ)利用遞推公式,可以求出的值,由是“p-擺動(dòng)數(shù)列”,這樣可以求出常數(shù)p的取值范圍,通過(guò)是“p-擺動(dòng)數(shù)列”的定義,可以得到奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)與p的大小關(guān)系,這樣利用通項(xiàng)公式最后可以求出常數(shù)p的值;
(Ⅲ)分類討論:分別當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)、當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),求出,最后確定的表達(dá)式,根據(jù)“p-擺動(dòng)數(shù)列”的定義,可以證明數(shù)列是“p-擺動(dòng)數(shù)列,分別當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)、當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),利用的單調(diào)性,求出常數(shù)p的取值范圍即可.
解:(Ⅰ)假設(shè)數(shù)列是“p-擺動(dòng)數(shù)列”,
即存在常數(shù)p,總有對(duì)任意成立,
不妨取時(shí),則;取時(shí),則,顯然常數(shù)p不存在,
所以數(shù)列不是“p-擺動(dòng)數(shù)列”
由,于是對(duì)任意成立,其中.
所以數(shù)列是“p-擺動(dòng)數(shù)列”.
(Ⅱ)由數(shù)列為“p-擺動(dòng)數(shù)列”,又,
所以,即存在常數(shù),使對(duì)任意,總有成立,及,所以.
因?yàn)?/span>,所以.
同理因?yàn)?/span>,所以.所以,即,
解得,即.
同理,解得,即.
綜上.
(Ⅲ)證明:由,.
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),;
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),.
所以,.
顯然存在,使對(duì)任意正整數(shù)n,總有成立,
所以數(shù)列是“p-擺動(dòng)數(shù)列”.
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),因?yàn)?/span>,單調(diào)遞減,所以,只要即可.
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),單調(diào)遞增,,只要即可.
綜上,,所以p的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)設(shè),曲線在點(diǎn)處的切線在軸上的截距為,求的最小值;
(Ⅱ)若只有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,.
當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并求出其極值;
若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn),求k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長(zhǎng)度建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為.
(1)求直線和曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)若點(diǎn)P為曲線C上任一點(diǎn),求點(diǎn)P到直線的距離的最大值,并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)E在橢圓上,以E為圓心的圓與x軸相切于橢圓C的右焦點(diǎn),與y軸相交于A,B兩點(diǎn),且是邊長(zhǎng)為2的正三角形.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知圓,設(shè)圓O上任意一點(diǎn)P處的切線交橢圓C于M、N兩點(diǎn),試判斷以為直徑的圓是否過(guò)定點(diǎn)?若過(guò)定點(diǎn),求出該定點(diǎn)坐標(biāo),并直接寫出的值;若不過(guò)定點(diǎn),請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》第47條的相關(guān)規(guī)定:機(jī)動(dòng)車行經(jīng)人行道時(shí),應(yīng)當(dāng)減速慢行;遇行人正在通過(guò)人行道,應(yīng)當(dāng)停車讓行,俗稱“禮讓斑馬線”, 《中華人民共和國(guó)道路交通安全法》第90條規(guī)定:對(duì)不禮讓行人的駕駛員處以扣3分,罰款50元的處罰.下表是某市一主干路口監(jiān)控設(shè)備所抓拍的5個(gè)月內(nèi)駕駛員“禮讓斑馬線”行為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
違章駕駛員人數(shù) | 120 | 105 | 100 | 90 | 85 |
(1)請(qǐng)利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)與月份之間的回歸直線方程;
(2)預(yù)測(cè)該路口9月份的不“禮讓斑馬線”違章駕駛員人數(shù).
參考公式: , .
參考數(shù)據(jù): .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn),直線與y軸交于點(diǎn)P.且與橢圓交于A,B兩點(diǎn).A為橢圓的右頂點(diǎn),B在x軸上的射影恰為。
(1)求橢圓E的方程;
(2)M為橢圓E在第一象限部分上一點(diǎn),直線MP與橢圓交于另一點(diǎn)N,若,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某高校為了解即將畢業(yè)的男大學(xué)生的身體狀況檢測(cè)了960名男大學(xué)生的體重(單位:),所得數(shù)據(jù)都在區(qū)間中,其頻率分布直方圖如圖所示.圖中從左到右的前3個(gè)小組的頻率之比為.
(1)求這960名男大學(xué)生中,體重小于的男大學(xué)生的人數(shù);
(2)從體重在范圍的男大學(xué)生中用分層抽樣的方法選取6名,再?gòu)倪@6名男大學(xué)生中隨機(jī)選取2名,記“至少有一名男大學(xué)生體重大于”為事件,求事件發(fā)生的概率.
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A.①③B.②③C.①②④D.③
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