Question

【題目】已知函數(shù)．

(1)若,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若對恒成立,求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】

試題分析：(1)求導(dǎo),考慮.分類討論的符號,即可得函數(shù)的單調(diào)性;(2),令, 由,可知在有且僅有一個零點,設(shè)為,利用討論函數(shù)的單調(diào)性并求出最小值,即可得出結(jié)論.

試題解析：

(1)函數(shù)的定義域為. 若,

則,

考慮.

當時,,即,故恒成立,

此時在單調(diào)遞增.

當時,,即方程有2個根,

由根與系數(shù)之間的關(guān)系可得,

即,

故時,,

此時在單調(diào)遞增.

當時,,

即方程有2個根,

由根與系數(shù)之間的關(guān)系可得,

即,

當或時,單調(diào)遞增,

當時,單調(diào)遞減.

此時在單調(diào)遞增.

綜上時,的單調(diào)增區(qū)間為.

當時,的單調(diào)增區(qū)間為,

的單調(diào)減區(qū)間為.

(2) 若,則,

則令, 由,可知在有且僅有一個零點,設(shè)為,

當時,,即,故在單調(diào)遞減,

當時,,即,故在單調(diào)遞增,

所以

又即

依題意,即,

易知在單調(diào)遞增,

且,故, 又,即,

易知在上單調(diào)遞減,所以.