Question

若三個(gè)非零且互不相等的實(shí)數(shù)a、b、c滿足

1

a

+

1

b

=

2

c

，則稱a、b、c是調(diào)和的；若滿足a+c=2b，則稱a、b、c是等差的．若集合P中元素a、b、c既是調(diào)和的，又是等差的，則稱集合P為“好集”．若集合M={x||x|≤2014，x∈Z}，集合P={a，b，c}⊆M．則：
（1）“好集”P中的元素最大值為

 

；
（2）“好集”P的個(gè)數(shù)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷

專題：計(jì)算題,集合

分析：（1）根據(jù)“好集”的定義，可解關(guān)于a，b，c的方程組，用b把另外兩個(gè)元素表示出來，再根據(jù)“集合M={x||x|≤2014，x∈Z}，集合P={a，b，c}⊆M”構(gòu)造出關(guān)于b的不等式，求出P中最大的元素．
（2）結(jié)合第一問的結(jié)果，因?yàn)閎是整數(shù)，可以求出b的最大值，從而確定p的個(gè)數(shù)．

解答： 解：（1）∵

1

a

+

1

b

=

2

c

，且a+c=2b，
∴（a-b）（a+2b）=0，
∴a=b（舍），或a=-2b，∴c=4b，
令-2014≤4b≤2014，得-503≤b≤503，
∴P中最大元素為4b=4×503=2012；
（2）由（1）知P={-2b，b，4b}
且-503≤b≤503，
∴“好集”P的個(gè)數(shù)為2×503=1006．
故答案為（1）2012，（2）1006．

點(diǎn)評(píng)：這是一道新定義題，關(guān)鍵是理解好題意，將問題轉(zhuǎn)化為方程（組）或不等式問題，則問題迎刃而解．