Question

函數(shù)f（x）=

(a-1)x-a  (x＜1) loga(x+1)   (x≥1)

，（a＞0且a≠1）是R上的減函數(shù)，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先分x＜1和x≥1時(shí)函數(shù)分別遞減，然后只需滿足x＜1時(shí)的最小值大于或等于x≥1時(shí)的最大值，則問題可求解．

解答： 解：（1）當(dāng)x＜1時(shí)，要使函數(shù)f（x）=（a-1）x-a遞減，只需a-1＜0，∴a＜1；
（2）當(dāng)x≥1時(shí)，要使f（x）=log_a（x+1）遞減，只需0＜a＜1；
又因?yàn)閒（x）在R上遞減，∴（a-1）×1-a≥log_a（1+1），即log_a2≤-1=log_a

1

a

，結(jié)合0＜a＜1，
∴0＜

1

a

≤2，∴a≥

1

2

，再結(jié)合（1）（2）可得

1

2

≤a＜1．
故答案為：[

1

2

，1）

點(diǎn)評(píng)：分段函數(shù)的單調(diào)性問題，先研究函數(shù)在每一段上的單調(diào)性，然后再結(jié)合該函數(shù)在整個(gè)定義域上的單調(diào)性分別構(gòu)造有關(guān)參數(shù)的不等式（組）求解；要注意“節(jié)點(diǎn)”處的函數(shù)值間的關(guān)系．