Question

已知函數(shù)f（x）滿足：f（1）=

1

4

，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y），則f（2015）=

 

．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：運(yùn)用賦值法，令y=1，根據(jù)條件得到f（x）=f（x+1）+f（x-1），將x換為x+1，再把x換為x+1，得到f（x+3）=-f（x），把x換為x+3，得到f（x+6）=f（x），從而f（x）的周期為6，f（2015）=f（5）；根據(jù)條件再令x=y=0，求出f（0），令x=y=1，求出f（2），令x=2，y=1，求出f（3），令x=y=2，求出f（4），令x=4，y=1求出f（5）即可．

解答： 解：令x=y=0，則4f²（0）=f（0）+f（0），
即f（0）=0或f（0）=

1

2

，
若f（0）=0，則令y=0，有4f（x）f（0）=2f（x），
即f（x）=0，這與f（1）＞0矛盾，
∴f（0）=

1

2

，
∵f（1）=

1

4

，
令x=y=1，則4f²（1）=f（2）+f（0），
∴f（2）=4×

1

16

-

1

2

=-

1

4

，
令x=2，y=1，則4f（2）f（1）=f（3）+f（1），
∴f（3）=4×（-

1

4

）×

1

4

-

1

4

=-

1

2

，
令x=y=2，則4f²（2）=f（4）+f（0），
∴f（4）=4×

1

16

-

1

2

=-

1

4

，
令x=4，y=1，則4f（4）f（1）=f（5）+f（3），
∴f（5）=4×(-

1

4

)×

1

4

-(-

1

2

)=

1

4

，
∵f（1）=

1

4

，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y），
令y=1，則4f（x）f（1）=f（x+1）+f（x-1）即f（x）=f（x+1）+f（x-1），
∴f（x+1）=f（x+2）+f（x），即f（x+1）=f（x+2）+f（x+1）+f（x-1），
∴f（x+2）=-f（x-1），即f（x+3）=-f（x），
∴f（x+6）=-f（x+3）=f（x），
∴函數(shù)f（x）是最小正周期為6的函數(shù)，
∴f（2015）=f（6×335+5）=f（5）=

1

4

，
故答案為：

1

4

．

點評：本題主要考查函數(shù)的周期性和運(yùn)用，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，注意充分運(yùn)用條件，恰當(dāng)賦值和賦式的運(yùn)用．