Question

設(shè)△ABC的三內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長分別為a，b，c，且a=3，A=60°，b+c=3

2

．
（Ⅰ）求三角形ABC的面積；
（Ⅱ）求sinB+sinC的值及△ABC中內(nèi)角B，C的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）利用余弦定理列出關(guān)系式，再利用完全平方公式變形，將b+c與a，cosA的值代入求出bc的值，最后利用三角形面積公式即可求出三角形ABC的面積；
（Ⅱ）由a，sinA的值，利用正弦定理及比例的性質(zhì)求出

b+c

sinB+sinC

的值，將b+c的值代入求出sinB+sinC的值，用C表示出B，代入sinB+sinC中，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式整理為一個(gè)角的正弦函數(shù)，利用特殊角的三角函數(shù)值求出C的度數(shù)，即可確定出B的度數(shù)．

解答： 解：（Ⅰ）∵a=3，A=60°，b+c=3

2

，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，即9=18-3bc，
∴bc=3，
則S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2

×

3

2

=

3 3

4

；
（Ⅱ）∵a=3，A=

π

3

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

得：

b+c

sinB+sinC

=

a

sinA

=

3

3 2

=2

3

，
∵b+c=3

2

，
∴sinB+sinC=

3 2

2 3

=

6

2

，
∵B+C=120°，即B=120°-C，
∴sinB+sinC=sin（120°-C）+sinC=

3

2

cosC+

1

2

sinC+sinC=

3

2

cosC+

3

2

sinC=

3

sin（C+30°）=

6

2

，即sin（C+30°）=

2

2

，
∴C+30°=45°或135°，即C=15°或C=105°，
則B=105°，C=15°或B=15°，C=105°．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．