Question

某校高三2班有48名學生進行了一場投籃測試，其中男生28人，女生20人．為了了解其投籃成績，甲、乙兩人分別對全班的學生進行編號（1～48號），并以不同的方法進行數(shù)據(jù)抽樣，其中一人用的是系統(tǒng)抽樣，另一人用的是分層抽樣．若此次投籃考試的成績大于或等于80分視為優(yōu)秀，小于80分視為不優(yōu)秀，以下是甲、乙兩人分別抽取的樣本數(shù)據(jù)：

編號	性別	投籃成績
3	男	90
7	女	60
11	男	75
15	男	80
19	女	85
23	男	80
27	男	95
31	男	80
35	男	80
39	女	60
43	男	75
47	女	55

甲抽取的樣本數(shù)據(jù)                                                              

編號	性別	投籃成績
1	男	95
8	男	85
10	男	85
17	男	80
23	男	60
24	男	90
27	男	80
31	女	80
35	女	65
37	女	35
41	女	60
46	女	75

乙抽取的樣本數(shù)據(jù)      
（Ⅰ）從甲抽取的樣本數(shù)據(jù)中任取兩名同學的投籃成績，記“抽到投籃成績優(yōu)秀”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望；
（Ⅱ）請你根據(jù)乙抽取的樣本數(shù)據(jù)完成下列2×2列聯(lián)表，判斷是否有95%以上的把握認為投籃成績和性別有關(guān)？

	優(yōu)秀	非優(yōu)秀	合計
男
女
合計			12

（Ⅲ）判斷甲、乙各用何種抽樣方法，并根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)論判斷哪種抽樣方法更優(yōu)？說明理由．
下面的臨界值表供參考：

	0.15	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
	2.072	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

（參考公式：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n-a+b+c+d）

Answer 1

考點：線性回歸方程

專題：計算題,概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）確定投籃成績優(yōu)秀的有7人，投籃成績不優(yōu)秀的有5人，X的所有可能取值為0，1，2，求出相應的概率，可得X的分布列和數(shù)學期望；
（Ⅱ）寫出2×2列聯(lián)表，求出K²，與臨界值比較，即可得出結(jié)論；
（Ⅲ）利用分層抽樣方法比系統(tǒng)抽樣方法的定義，可得結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由甲抽取的樣本數(shù)據(jù)可知，投籃成績優(yōu)秀的有7人，投籃成績不優(yōu)秀的有5人．
X的所有可能取值為0，1，2．…（1分）
所以P（X=0）=

C 2 5

C 2 12

=

5

33

，P（X=1）=

C 1 7 C 1 5

C 2 12

=

35

66

，P（X=2）=

C 2 7

C 2 12

=

7

22

．…（4分）
故X的分布列為

X	0	1	2
P	5 33	35 66	7 22

…（5分）
∴EX=0×

5

33

+1×

35

66

+2×

7

22

=

7

6

．    …（6分）
（Ⅱ）設(shè)投籃成績與性別無關(guān)，由乙抽取的樣本數(shù)據(jù)，得2×2列聯(lián)表如下：

	優(yōu)秀	非優(yōu)秀	合計
男	6	1	7
女	1	4	5
合計	7	5	12

…（7分）
K²=

12(6×4-1×1)2

7×5×5×7

≈5.182＞3.841，…（9分）
所以有95%以上的把握認為投籃成績與性別有關(guān)．        …（10分）
（Ⅲ）甲用的是系統(tǒng)抽樣，乙用的是分層抽樣．  …（11分）
由（Ⅱ）的結(jié)論知，投籃成績與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出投籃成績與性別有明顯差異，因此采用分層抽樣方法比系統(tǒng)抽樣方法更優(yōu)．  …（13分）

點評：本題主要考查概率與獨立性檢驗相交匯等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)形結(jié)合能力、運算求解能力以及應用用意識，考查必然與或然思想等，屬于中檔題．