Question

【題目】已知函數(shù) (其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k∈R)．

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，證明： ．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】試題分析：

本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問題。（1）求導(dǎo)數(shù)后，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷出函數(shù)的單調(diào)性。（2）根據(jù)題意將證明的問題轉(zhuǎn)化為證明，即證，構(gòu)造函數(shù)，

利用函數(shù)的單調(diào)性證明即可。

試題解析：

（1）解：∵

∴。

①當(dāng)時(shí)，令，解得，

∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增。

②當(dāng)時(shí)，恒成立，

∴函數(shù)在R上單調(diào)遞增.

綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。

當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增.

（2）證明：當(dāng)時(shí)，由（1）知函數(shù)單調(diào)遞增，不存在兩個(gè)零點(diǎn)。

所以。

設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，

則，

設(shè)，

解得，

所以，

要證，

只需證，

設(shè)

設(shè)單調(diào)遞增，

所以，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，

故．