Question

如圖，在三棱錐C-OAB中，OA⊥OB，CB⊥平面OAB，OA=2，OB=4，BC=6，M為AC的中點(diǎn)，求：
（1）直線OM與AB所成角的余弦值；
（2）直線AB與平面OAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的圖形，建立坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到對(duì)應(yīng)的向量，根據(jù)兩個(gè)向量的夾角的余弦，寫出兩條異面直線的余弦值．
（2）設(shè)出平面的法向量，根據(jù)法向量與平面上兩條不共線的向量的數(shù)量積等于0，得到平面的一個(gè)法向量，根據(jù)兩個(gè)向量之間夾角的余弦值等于線面之間的夾角的正弦值．

解答：解：（1）建立如圖所示的坐標(biāo)系，有O（0，0，0），A（2，0，0），
B（0，4，0），C（0，4，6），M（1，2，3）
∴

OM

=(1，2，3)，

AB

=(-2，4，0)
∴

OM

•

AB

=-2+8+0=6
∴cos＜

OM

，

AB

＞=

6

14 ×2 5

=

3 70

70

（2）設(shè)平面OAC的法向量為

m

=(a，b，c)，
則

m

•

OA

=0，

m

•

OC

=0
∴2a=0，
4b+6c=0，
∴

m

=(0，1，-

2

3

)
設(shè)直線AB與平面OAC所成的角是θ，
∴sinθ=|cos＜

OM

，

AB

＞=

4

13 9 ×2 5

=

6 65

65

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面所成的角和線面角，本題解題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，把繁瑣的理論證明變換成了數(shù)字的運(yùn)算．