Question

設f（x）=e^x（ax²+x+1），且曲線y=f（x）在x=1處的切線與x軸平行．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的單調區(qū)間；
（3）求f（x）在[-3，2]的最小值．
參考公式：（e^x）′=e^x，（f（x）g（x））′=（f（x））′g（x）+f（x）（g（x））′．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的概念及應用

分析：（1）先求出函數(shù)的導數(shù)，再由f′（1）=0，求出a的值即可；（2）先求出導函數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，進而求出單調區(qū)間，（3）找出極值點，求出極值及端點值即可求出最小值．

解答： 解：（1）f′（x）=e^x（ax²+x+1+2ax+1），
由條件知，f′（1）=0，
故a+3+2a=0，
∴a=-1．
（2）f（x）=e^x（-x²+x+1），
于是f′（x）=e^x（-x²-x+2）=-e^x（x+2）（x-1），
故當x∈（-∞，-2）和（1，+∞）時，f′（x）＜0；
當x∈（-2，1）時，f′（x）＞0，
從而f（x）在（-∞，-2），（1，+∞）上單調遞減，在（-2，1）上單調遞增．
（3）由（2）知，f（x）在（-3，-2）和（1，2）上單調遞減，在（-2，1）上單調遞增，所以，f（x）在x=-2或2處取得最小值，
f（-2）=-

5

e2

，f（2）=-e²，
∴f（x）在[-3，2]的最小值是f（2）=-e²．

點評：本題考察了函數(shù)的單調性，求函數(shù)閉區(qū)間上的最值問題，是一道基礎題．