Question

已知函數(shù)，在軸上的截距為，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又當時取得極小值.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）能否找到函數(shù)垂直于軸的對稱軸，并證明你的結(jié)論；

（3）設使關(guān)于的方程恰有三個不同實根的實數(shù)的取值范圍為集合，且兩個非零實根為,試問：是否存在實數(shù)，使得不等式對任意恒成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）；（2）關(guān)于對稱；（3）不存在滿足題意的實數(shù).

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意，，；（2）假設存在關(guān)于直線對稱，取點關(guān)于直線對稱的點為：必在上，帶入計算求得的值，故存在真樣的對稱直線；（Ⅲ）首先為其一個零點，消去，得到有關(guān)另兩個零點的二次函數(shù)式，利用韋達定理，解得和,利用，進而求得集合,恒成立問題，即為求最值問題，得到關(guān)于的不等式，解得無解，所以符合題中條件的不存在.

試題解析：（1）易知

又

由，得

令，得

由，得

由①②得

（2）若關(guān)于直線對稱（顯然），

則取點關(guān)于直線對稱的點必在上，

即，得

又

驗證，滿足

（也可直接證明，計算較繁瑣；）

（3）由（1）知，，

即

又為其一根，得

且

故

又，得，

，故且 ,

’

即只需

設

無解

即不存在滿足題意的實數(shù).

考點：1.函數(shù)的極值；2.函數(shù)的對稱軸；3.函數(shù)恒成立問題.