Question

已知中心在原點，焦點在坐標軸上的雙曲線C經(jīng)過A（-7，5）、B（-1，-1）兩點．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)直線l：y=x+m交雙曲線C于M、N兩點，且線段MN被圓E：x²+y²-12x+n=0（n∈R）三等分，求實數(shù)m、n的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)雙曲線C的方程是λx²+μy²=1，代入A（-7，5）、B（-1，-1）兩點，即可求雙曲線C的方程；
（2）將l：y=x+m代入2y²-x²=1，求出MN的中點P的坐標，利用k_PE=-1，求出m，求出直線l截圓E所得弦長，可得圓的方程，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)雙曲線C的方程是λx²+μy²=1，依題意有

49λ+25μ=1 λ+μ=1

…（2分）
解得λ=-1，μ=2…（3分）  
所以所求雙曲線的方程是2y²-x²=1…（4分）
（2）將l：y=x+m代入2y²-x²=1，得x²+4mx+（2m²-1）=0…（*）
∴△=（4m）²-4（2m²-1）=8m²+4＞0…（6分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點P（x₀，y₀），則x₁+x₂=-4m，x1x2=2m2-1…（7分）
則x0=

x1+x2

2

=-2m，y₀=x₀+m=-m，
∴P（-2m，-m）…（8分）
又圓心E（6，0），依題意k_PE=-1，故

m

6+2m

=-1，即m=-2…（9分）
將m=-2代入（*）得x²-8x+7=0，解得x₁=1，x₂=7，
∴|MN|=

1+12

|x1-x2|=6

2

…（10分）
故直線l截圓E所得弦長為

1

3

|MN|=2

2

，
又E（6，0）到直線l的距離d=2

2

…（11分）
∴圓E的半徑R=

(2 2 )2+( 2 )2

=

10

∴圓E的方程是（x-6）²+y²=10…（12分）
∴m=-2，n=26…（13分）

點評：本題考查雙曲線方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查圓的方程，考查學生分析解決問題的能力，正確求出雙曲線方程是關(guān)鍵．