Question

已知函數(shù)f（x）=-x²-2x，g（x）=

x+ 1 4x ，x＞0 x+1，x≤0

，若方程g[f（x）]-a=0的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)有3個(gè)，則實(shí)數(shù)a的值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：分別作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，根據(jù)兩個(gè)圖象之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）=x+

1

4x

≥2

x• 1 4x

=2×

1

2

=1，當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

4x

，即x=

1

2

時(shí)取等號(hào)．
當(dāng)x≤0時(shí)，g（x）=x+1≤1，
而f（x）=-x²-2x=-（x+1）²+1≤1，
設(shè)t=f（x），
則方程g[f（x）]-a=0等價(jià)為g（t）=a，
要使方程g[f（x）]-a=0的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)有3個(gè)，
則t=1且t＜1，當(dāng)t=1時(shí)，g（1）=1+

1

4

=

5

4

=a．
故答案為：

5

4

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的圖象和應(yīng)用，利用函數(shù)和方程之間的關(guān)系，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大．