Question

下列命題中所有正確的序號是

 

．
①函數(shù)f（x）=x²-2x+a在區(qū)間（-2，0）和（2，3）內(nèi)各有一個零點(diǎn)，則-3＜a＜0；
②已知f（x）=

(2-a)x+1， x＜1 ax， x≥1

對任意x₁≠x₂都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，那么實(shí)數(shù)a的范圍是1＜a＜2；
③用min{a，b，c}表示a，b，c三個數(shù)中的最小值．設(shè)f（x）=min{2^x，x+2，10-x}（x≥0），則f（x）的最大值為6；
④若函數(shù)y=loga(x2-ax+2)在區(qū)間（-∞，1]上為減函數(shù)，則a≥2．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：數(shù)形結(jié)合,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和函數(shù)零點(diǎn)的存在定理可得；
②根據(jù)題意知，f（x）是增函數(shù)，從而求出a的取值范圍；
③根據(jù)題意，畫出函數(shù)y=10-x，y=x+2和y=2^x的圖象，得出f（x）的圖象，得到f（x）的最大值；
④根據(jù)題意，設(shè)g（x）=x²-ax+2（a＞0，且a≠1），討論a的取值，得出滿足條件的a的取值范圍．

解答： 解：①∵函數(shù)f（x）=x²-2x+a在區(qū)間 （-2，0）與（2，3）上各有一個零點(diǎn)，
∴

f(-2)•f(0)＜0 f(2)•f(3)＜0

，
即

a(a+4)＜0 a(a+3)＜0

，
解得-3＜a＜0；
∴命題①正確．
②根據(jù)題意知，f（x）是增函數(shù)，
∴

2-a＞0 a＞1 a1＞(2-a)×1+1

，
解得

3

2

＜a＜2；
∴命題②不正確．
③根據(jù)題意，在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=10-x，y=x+2和y=2^x的圖象，如圖；

y=x+2 與y=2^x交點(diǎn)是A、B，y=x+2與 y=10-x的交點(diǎn)為C（4，6），
由上圖得出f（x）的圖象如下：

C為最高點(diǎn)，且C（4，6），所以f（x）的最大值為6；
∴命題③正確．
④根據(jù)題意，設(shè)g（x）=x²-ax+2（a＞0，且a≠1），
當(dāng)a＞1時，g（x）在（-∞，1]上為減函數(shù)，
∴

a 2 ≥1 12-a+2＞0

∴2≤a＜3；
當(dāng)0＜a＜1時，g（x）在（-∞，1]上為減函數(shù)，不合題意；
∴2≤a＜3；
∴命題④不正確．
故答案為：①③．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的概念、圖象、最值、單調(diào)性以及零點(diǎn)的問題，也考查了分類討論思想和數(shù)形結(jié)合的方法，是綜合性題目．