Question

已知正項等比數(shù)列{a_n}滿足a₂₀₁₄=a₂₀₁₃+2a₂₀₁₂，且

anam

=4a₁，則6（

1

m

+

1

n

）的最小值為（　�。�

• A、

  2

  3

• B、2
• C、4
• D、6

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知可解得數(shù)列的公比q，進而可得n+m=6，代入要求的式子由基本不等式可得．

解答： 解：設(shè)正項等比數(shù)列{a_n}的公比為q，q＞0
∵a₂₀₁₄=a₂₀₁₃+2a₂₀₁₂，
∴a₂₀₁₂q²=a₂₀₁₂q+2a₂₀₁₂，
同除以a₂₀₁₂可得q²-q-2=0，
解得q=2，或q=-1（舍去），
又∵

anam

=4a₁，
∴a_n•a_m=a₁²•2^n+m-2=16a₁²，
∴2^n+m-2=16=2⁴，
∴n+m-2=4，
變形可得n+m=6，
∴6（

1

m

+

1

n

）=（m+n）（

1

m

+

1

n

）=2+

n

m

+

m

n

≥2+2

n m • m n

=4，
當(dāng)且僅當(dāng)

n

m

=

m

n

，即m=n=3時取等號，
故選：C．

點評：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，涉及基本不等式的應(yīng)用，屬中檔題．