Question

【題目】已知函數(shù)，在處取極大值，在處取極小值.

(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和零點個數(shù)；

(2)在方程的解中，較大的一個記為；在方程的解中，較小的一個記為，證明：為定值；

(3)證明：當時，.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為；3個零點（2）-1(3)見解析

【解析】分析：（1）當時，求導(dǎo)即可得到單調(diào)區(qū)間，再利用零點存在定理判定零點即可；

（2）因為，可知. 因為，即，可知，同理，得到，即可證明；

（3）要證，即要證.

設(shè)，求導(dǎo)，通過單調(diào)性可知，再設(shè)，求導(dǎo)，通過單調(diào)性可知，，

因為，所以，，且和分別在和2.處取最大值和最小值，因此恒成立，即當時，.

解析：解(1)當時，，；

當時，或；當時，；

即函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為；

又，，，，所以有3個零點.

(2)因為，則，

可知.

因為，即，

即

.

可知，

同理，由可知

；

得到；

.

(3)要證，即要證.

設(shè)，則；當時，；當時，；

可知；

再設(shè)，則；當時，；當時，；

可知，.

因為，所以，，且和分別在和2處取最大值和最小值，因此恒成立，即當時，.

(3)另證：一方面，易證；（略）

另一方面，當 時，；

又；

所以，，

且不存在正數(shù)，使得其中等號同時成立，故.