Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，過A點的截面AEFG分別交PB，PC，PD于點E，F(xiàn)，G，且PB⊥AE，PD⊥AG．下列結(jié)論正確的是

 

（寫出所有正確結(jié)論的編號）．
①BD∥平面AEFG；
②PC⊥平面AEFG；
③EF∥平面PAD；
④點A，B，C，D，E，F(xiàn)，G在同一球面上；
⑤若PA=AB=1，則四棱錐O-AEFG的體積為

1

9

．

Answer 1

考點：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：①證明EG∥BD，可得結(jié)論；②證明AE⊥PC，AG⊥PC，即可證明PC⊥平面AEFG；③利用反證法可以得出結(jié)論；
④由②可知OA=OB=OC=OD=OE=OF=OG=

1

2

AC，故點A，B，C，D，E，F(xiàn)，G在同一球面上；⑤若連接AF，取AF的中點M，連接OM，可求四棱錐O-AEFG的體積．

解答： 解：∵PB⊥AE，PD⊥AG，AB=AD，∴PB=PD，PE=PG，∴EG∥BD，∴BD∥平面AEFG，∴①正確；    
由已知可得BC⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，∴AE⊥BC，AG⊥CD，∵PB⊥AE，PD⊥AG，∴AE⊥PC，AG⊥PC，
∴PC⊥平面AEFG，∴②正確；
由②可知EF⊥PC，∴EF與BC必相交，假設(shè)EF∥平面PAD，由BC∥平面PAD，可得平面PAD∥平面PBC，顯然矛盾，∴③錯誤；
由②可知OA=OB=OC=OD=OE=OF=OG=

1

2

AC，∴點A，B，C，D，E，F(xiàn)，G在同一球面上，∴④正確；
連接AF，取AF的中點M，連接OM，則OM∥PC，∴OM⊥平面AEFG，由已知可得AE=

2

2

，AF=

6

3

，∴EF=

6

6

，OM=

3

3

，∴四棱錐O-AEFG的體積V=

AE•EF•OM

3

=

1

18

，∴⑤錯誤．
故答案為：①②④．

點評：本題考查空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，考查學生分析解決問題的能力，難度中等．