Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+blnx在x=1處有極值

1

2

．
（1）求a，b的值；
（2）判斷函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性并求出單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)條件，建立方程關(guān)系即可求a，b的值；
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax²+blnx在x=1處有極值

1

2

，
∴f（1）=a=

1

2

，即a=

1

2

，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=2ax+

b

x

，
∴f′（1）=2a+b=0，解得b=-1，
即a=

1

2

，b=-1．
（2）∵f（x）=

1

2

x²-lnx；函數(shù)的定義域為（0，+∞），
∴f′（x）=x-

1

x

=

x2-1

x

由f′（x）=0，解得x=1，
當(dāng)x＞1時，f′（x）＞0，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＜0，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞）．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)條件求出a，b，c的值是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運算能力．