Question

已知矩陣M=

1 2 2 1

（1）求M的逆矩陣M^-1；
（2）求直線l：x=1經M對應的變換T_M變換后的直線l′的方程；
（3）判斷

α

=

-1 1

是否為M的特征向量．

Answer 1

考點：逆變換與逆矩陣,矩陣特征值的定義

專題：選作題,矩陣和變換

分析：（1）求出|M|，即可求M的逆矩陣M^-1；
（2）設

1 2 2 1

x y

=

x′ y′

，則x=-

1

3

x′+

2

3

y′，由條件可得結論；
（3）由

1 2 2 1

-1 1

=-

-1 1

，可得結論．

解答： 解：（1）|M|=

.

1 2 2 1

.

=1-4=-3，
∴M^-1=

- 1 3 2 3 2 3 - 1 3

；
（2）設

1 2 2 1

x y

=

x′ y′

，則

x+2y=x′ 2x+y=y′

，
∴x=-

1

3

x′+

2

3

y′，
∵直線l：x=1經M對應的變換T_M變換后的直線l′的方程，
∴-

1

3

x′+

2

3

y′=1，即x-2y+3=0；
（3）∵

1 2 2 1

-1 1

=-

-1 1

∴

α

=

-1 1

是M的特征向量．

點評：本小題主要考查矩陣變換的問題，考查矩陣的特征值與特征向量等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．