Question

【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為上頂點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,以為直徑的圓過點(diǎn),直線與圓相交得到的弦長為

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)， 與軸， 軸分別相交于兩點(diǎn)，滿足：①記的中點(diǎn)為,且兩點(diǎn)到直線的距離相等；②記的面積分別為若當(dāng)取得最大值時(shí),求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】試題分析：（Ⅰ）由以為直徑的圓過點(diǎn)，知，從而求出， ，由此能求出橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，則．由方程組，得，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、弦長公式，結(jié)合已知條件能求出的值.

試題解析：（Ⅰ）因?yàn)橐?/span>為直徑的圓過點(diǎn),所以則圓的方程為

直線的方程為，則 ， ,所以,所以橢圓的方程為

（Ⅱ）由題意，設(shè)直線的方程為則

由方程組得

所以

由韋達(dá)定理得

因?yàn)?/span>兩點(diǎn)到直線的距離相等，所以線段的中點(diǎn)與線段的中點(diǎn)重合，

所以解得

于是，

由及可得

所以，當(dāng)時(shí)， 有最大值

此時(shí)故