Question

對(duì)于使f（x）≥M成立的所有常數(shù)M中，我們把M的最大值叫做f（x）的下確界，若lga+lgb=0，則

b

1+a2

+

a

1+b2

的下確界為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，得到ab=1，利用基本不等式進(jìn)行整理，得到函數(shù)的值域，得到下確界．

解答： 解：∵lga+lgb=0，
∴a＞0，b＞0，ab=1，
則a+b≥2

ab

=2，
∴

b

1+a2

+

a

1+b2

=

b

ab+a2

+

a

ab+b2

=

b

a(a+b)

+

a

b(a+b)

=

a2+b2

ab(a+b)

=

(a+b)2-2

a+b

=a+b-

2

a+b

，
令t=a+b，t≥2，
y=a+b-

2

a+b

=t-

2

t

，則函數(shù)在[2，+∞）上為增函數(shù)，
故當(dāng)t=2時(shí)，函數(shù)取最小值1，
即

b

1+a2

+

a

1+b2

的下確界為1，
故答案為：1

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的值域和基本不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出函數(shù)的值域，本題是一個(gè)新定義問題，注意理解所給的新定義．