Question

9．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax-3（a≠0）
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若對于任意的a∈[1，2]，若函數(shù)g（x）=x³+$\frac{{x}^{2}}{2}$[m-2f′（x）]在區(qū)間（a，3）上有最值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）求證：ln（$\frac{1}{{2}^{2}}$+1）+ln（$\frac{1}{{3}^{2}}$+1）+ln（$\frac{1}{{4}^{2}}$+1）+…+ln（$\frac{1}{{n}^{2}}$+1）＜$\frac{2}{3}$（n≥2，n∈N^*）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）對f（x）求導(dǎo)，再分a＞0，a＜0兩種情況，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）對函數(shù)g（x）求導(dǎo)得g'（x）=3x²+（m+2a）x-1，根據(jù)g（x）在區(qū)間（a，3）上有最值，得到g（x）在區(qū)間（a，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，從而得到g′（0）=-1，$\left\{\begin{array}{l}{g′（a）＜0}\\{g′（3）＞0}\end{array}\right.$，另由對任意a∈[1，2]，g'（a）=3a²+（m+2a）•a-1=5a²+ma-1＜0恒成立，分離參數(shù)即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）由f（x）=lnx-x-3在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，可得當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＜f（1），即有l(wèi)nx＜x-1對一切x＞0成立，即有l(wèi)n（1+x）＜x對一切x＞0成立，由n≥2，n∈N，則有l(wèi)n（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）＜$\frac{1}{{n}^{2}}$，再由$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{{n}^{2}-\frac{1}{4}}$=$\frac{2}{2n-1}$-$\frac{2}{2n+1}$，運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和以及不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）由已知得f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），且f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，$\frac{1}{a}$），減區(qū)間為（$\frac{1}{a}$，+∞）；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞），無減區(qū)間；
（Ⅱ）g（x）=x³+$\frac{{x}^{2}}{2}$[m-2f′（x）]=x³+（$\frac{m}{2}$+a）x²-x，
∴g'（x）=3x²+（m+2a）x-1，
∵g（x）在區(qū)間（a，3）上有最值，
∴g（x）在區(qū)間（a，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，
又g′（0）=-1，$\left\{\begin{array}{l}{g′（a）＜0}\\{g′（3）＞0}\end{array}\right.$，
由題意知：對任意a∈[1，2]，g′（a）=3a²+（m+2a）•a-1=5a²+ma-1＜0恒成立，
∴m＜$\frac{1-5{a}^{2}}{a}$，a∈[1，2]，∴m＜-$\frac{19}{2}$，
對任意a∈[1，2]，g'（3）=3m+26+6a＞0恒成立，∴m＞-$\frac{32}{3}$
∴-$\frac{32}{3}$＜m＜-$\frac{19}{2}$．
（Ⅲ）證明：令a=1此時(shí)f（x）=lnx-x-3，由（Ⅰ）知f（x）=lnx-x-3在（0，1）上單調(diào)遞增，
在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x＞0時(shí)f（x）＜f（1），
即有l(wèi)nx＜x-1對一切x＞0成立，則ln（1+x）＜x對一切x＞0成立，
由n≥2，n∈N，則有l(wèi)n（1+$\frac{1}{{n}^{2}}$）＜$\frac{1}{{n}^{2}}$，
即有l(wèi)n（$\frac{1}{{2}^{2}}$+1）+ln（$\frac{1}{{3}^{2}}$+1）+ln（$\frac{1}{{4}^{2}}$+1）+…+ln（$\frac{1}{{n}^{2}}$+1）＜$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$
＜$\frac{1}{{2}^{2}-\frac{1}{4}}$+$\frac{1}{{3}^{2}-\frac{1}{4}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}-\frac{1}{4}}$=（$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{5}$）+（$\frac{2}{5}$-$\frac{2}{7}$）+…+（$\frac{2}{2n-1}$-$\frac{2}{2n+1}$）
=$\frac{2}{3}$-$\frac{2}{2n+1}$＜$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評 此題是個(gè)中檔題．考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值問題，體現(xiàn)了對分類討論和化歸轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想的考查，特別是問題（II）的設(shè)置很好的考查學(xué)生對題意的理解與轉(zhuǎn)化，創(chuàng)造性的分析問題、解決問題的能力和計(jì)算能力．最后一問，注意運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性和裂項(xiàng)相消求和，屬于難題．