Question

17．分別求適合下列條件的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（1）實軸長為12，離心率為$\frac{2}{3}$，焦點在x軸上的橢圓；
（2）頂點間的距離為6，漸近線方程為y=±$\frac{1}{3}$x的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，（a＞b＞0），由已知，2a=12，e=$\frac{c}{a}=\frac{2}{3}$，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）當(dāng)雙曲線焦點在x軸上時，設(shè)所求雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞0，b＞0）由題意，得$\left\{\begin{array}{l}{2a=6}\\{\frac{a}=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，由此能求出焦點在x軸上的雙曲線的方程；同理可求當(dāng)焦點在y軸上雙曲線的方程．

解答 解：（1）∵橢圓實軸長為12，離心率為$\frac{2}{3}$，焦點在x軸上，
∴設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，（a＞b＞0），
由已知，2a=12，e=$\frac{c}{a}=\frac{2}{3}$，
∴a=6，c=4，b²=a²-c²=20，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{36}+\frac{{y}^{2}}{20}$=1．…（6分）
（2）∵雙曲線頂點間的距離為6，漸近線方程為y=±$\frac{1}{3}$x，
∴當(dāng)雙曲線焦點在x軸上時，設(shè)所求雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a＞0，b＞0）
由題意，得$\left\{\begin{array}{l}{2a=6}\\{\frac{a}=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，解得a=3，b=1．
∴焦點在x軸上的雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}-{y}^{2}=1$．…（9分）
當(dāng)焦點在y軸上，設(shè)雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{^{2}}=1$，（a＞0，b＞0）
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{2a=6}\\{\frac{a}=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，解得a=3，b=9，
∴焦點在y軸上的雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{9}-\frac{{x}^{2}}{81}=1$．
綜上，所求雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{9}-{y}^{2}$=1或$\frac{{y}^{2}}{9}-\frac{{x}^{2}}{81}=1$．…（12分）

點評 本題考查橢圓方程和雙曲線方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意橢圓、雙曲線的簡單性質(zhì)的合理運用．