Question

已知a，b，c都是正數(shù)，求證：
（1）

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥a+b+c；
（2）

1

2a

+

1

2b

+

1

2c

≥

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明

專題：選作題,不等式

分析：（1）利用b+

a2

b

≥2a，c+

b2

c

≥2b，a+

c2

a

≥2c，三個(gè)式子相加可得結(jié)論；
（2）該題是輪換式不等式的證明，可以利用基本不等式證

1

2

（

1

2a

+

1

2b

）≥

1

2 ab

≥

1

a+b

；

1

2

（

1

2b

+

1

2c

）≥

1

2 bc

≥

1

b+c

；

1

2

（

1

2c

+

1

2a

）≥

1

2 ca

≥

1

c+a

，將三式相加可證得結(jié)論．

解答： 證明：（1）∵a，b，c都是正數(shù)，
∴b+

a2

b

≥2a，c+

b2

c

≥2b，a+

c2

a

≥2c，
三個(gè)式子相加可得b+

a2

b

+c+

b2

c

+a+

c2

a

≥2a+2b+2c，
∴

a2

b

+

b2

c

+

c2

a

≥a+b+c；
（2）∵a、b、c均為正實(shí)數(shù)，
∴

1

2

（

1

2a

+

1

2b

）≥

1

2 ab

≥

1

a+b

，當(dāng)a=b時(shí)等號成立；

1

2

（

1

2b

+

1

2c

）≥

1

2 bc

≥

1

b+c

，當(dāng)b=c時(shí)等號成立；

1

2

（

1

2c

+

1

2a

）≥

1

2 ca

≥

1

c+a

，當(dāng)a=c時(shí)等號成立；
三個(gè)不等式相加即得

1

2a

+

1

2b

+

1

2c

≥

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號成立．

點(diǎn)評：本題主要考查了不等式的證明，以及基本不等式的應(yīng)用，同時(shí)考查了分析問題的能力，屬于中檔題．