Question

8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△OBC的邊BC所在的直線方程是l：x-y-3=0
（1）如果一束光線從原點(diǎn)O射出，經(jīng)直線l反射后，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，3），求反射后光線所在直線的方程：
（2）如果在△OBC中，∠BOC為直角，求△OBC面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知反射光線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)關(guān)于了的對(duì)稱點(diǎn)和（3，3），由對(duì)稱關(guān)系求出點(diǎn)的坐標(biāo)可得直線方程；
（2）由題意設(shè)B（x₁，x₁-3），C（x₂，x₂-3），由直角可得x₁+x₂=$\frac{1}{3}$（2x₁x₂+9），由距離公式可得BC|的表達(dá)式，由二次函數(shù)可得．

解答 解：（1）設(shè)原點(diǎn)O（0，0）關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)為（m，n），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n-0}{m-0}•1=-1}\\{\frac{m}{2}-\frac{n}{2}-3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{n=-3}\end{array}\right.$，
由題意可知反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，-3）和（3，3），
∴反射光線所在直線的方程為x=3；
（2）由題意設(shè)B（x₁，x₁-3），C（x₂，x₂-3），
∵∠BOC為直角，∴x₁x₂+（x₁-3）（x₂-3）=0，
化簡(jiǎn)可得x₁+x₂=$\frac{1}{3}$（2x₁x₂+9），
∴}BC|=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}+（{x}_{1}-3-{x}_{2}+3）^{2}}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{\frac{1}{3}}$•$\sqrt{4（{x}_{1}{x}_{2}）^{2}+81}$
由二次函數(shù)可知當(dāng)x₁x₂=0時(shí)，上式取最小值3$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的對(duì)稱性，涉及直線垂直關(guān)系和二次函數(shù)的最值，屬中檔題．