Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為e=

3

3

，直線l：y=x+2和圓O：x²+y²=b²相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過橢圓C的左頂點，作直線m，與O相交于兩點R，S，已知△ORS的面積為

3

2

，求直線m的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由直線l：y=x+2與圓x²+y²=b²相切得：

2

2

=b，再利用e=

3

3

，可得

a2-2

a2

=

1

3

，求出a，即可得出橢圓C的方程；
（2）設直線m的方程為：y=k（x+

3

）（k≠0），求出圓心O到直線m的距離、直線m與圓O相交的弦長，表示出△ORS的面積，利用△ORS的面積為

3

2

，即可求直線m的方程．

解答： 解：（1）由直線l：y=x+2與圓x²+y²=b²相切得：

2

2

=b，解得b=

2

，
又e=

3

3

，可得

a2-2

a2

=

1

3

，得a=

3

故橢圓C的方程為：

x2

3

+

y2

2

=1…（5分）
（2）由（1）知：A（-

3

，0），依題意知，直線m的斜率存在且不為0，
設直線m的方程為：y=k（x+

3

）（k≠0），
所以圓心O到直線m的距離d=

| 3 k|

k2+1

，
因為直線m與圓O相交，所以d＜

2

，
即

| 3 k|

k2+1

＜

2

，解得k²＜2且k≠0．
直線m與圓O相交的弦長|RS|=2

r2-d2

=

2 2-k2

k2+1

，
所以S_△ORS=

1

2

|RS|d=

1

2

•

2 2-k2

k2+1

•

| 3 k|

k2+1

=

3

2

，
解得k²=1或k²=

1

5

，均適合k²＜2且k≠0，
所以k=±1或k=±

5

5

，
故直線m的方程為y=±（x+

3

）或y=±

5

5

（x+

3

）．…（13分）

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系、弦長公式等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．