Question

已知數(shù)列{a_n}的相鄰兩項a_n，a_n+1是x的方程x²-（1+2n）x+b_n=0（n∈N^*）的兩根且a₁=2
（1）求證：數(shù)列{a_n-n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義，即可證明數(shù)列{a_n-n}是等比數(shù)列；
（2）利用分組求和法即可求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（1）∵a_n，a_n+1是x的方程x²-（1+2n）x+b_n=0（n∈N^*）的兩根，
∴a_n+a_n+1=1+2n，
即a_n+1-（n+1）=-（a_n-n），
∵a₁=2，即a₁-1=1，
即數(shù)列{a_n-n}是以1為首項，-1為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）知，a_n-n=（-1）^n-1，即a_n=n+（-1）^n-1，
∴S_n=（1+2+…+n）+[1-1+1-1+…+（-1）^n-1]
=

(1+n)n

2

+

1-(-1)n

1-(-1)

=

(1+n)n

2

+

1-(-1)n

2

=

n(n+1) 2 +1，n是奇數(shù) n(n+1) 2 ，n是偶數(shù)

．

點評：本題主要考查等比數(shù)列的證明以及數(shù)列的求和，考查學生的運算能力．