Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，

3

2

），其離心率e=

1

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作不與坐標(biāo)軸重合的直線l交橢圓C于P、Q兩點(diǎn)，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為D，連接QD并延長(zhǎng)交橢圓C于點(diǎn)E，試判斷隨著l的轉(zhuǎn)動(dòng)，直線PE與l的斜率的乘積是否為定值？說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（I）由已知條件推導(dǎo)出

1- b2 a2

=

1

2

，

1

a2

+

9

4b2

=1，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程是y=kx，P（x₁，y₁），E（x₂，y₂），則Q（-x₁，-y₁），D（x₁，0），直線QD的方程是y=

k

2

(x-x1)，由

y= k 2 (x-x1) x2 4 + y2 3 =1

，得(3+k2)x2-2k2x1x+k2x12-12=0，由此能推導(dǎo)出直線PE與l的斜率的乘積是定值-

3

2

．

解答： 解：（I）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）離心率e=

1

2

，
∴

1- b2 a2

=

1

2

，3a²=4b²，
∵點(diǎn)（1，

3

2

）在橢圓C上，∴

1

a2

+

9

4b2

=1，
解得a²=4，b²=3，
∴橢圓C的方程是

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程是y=kx，P（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
則Q（-x₁，-y₁），D（x₁，0），直線QD的斜率是

y1

2x1

=

k

2

，
直線QD的方程是y=

k

2

(x-x1)，
由

y= k 2 (x-x1) x2 4 + y2 3 =1

，得(3+k2)x2-2k2x1x+k2x12-12=0，
則-x1+x2=

2k2x1

3+k2

，
∴kPE•kl=

y2-y1

x2-x1

•k
=

k 2 (x2-x1)-kx1

x2-x1

•k
=

k 2 • 2k2x1 3+k2

2k2x1 3+k2

•k
=

k 2 • 2k2x1 3+k2

2k2x1 3+k2

•k=-

3

2

．
∴直線PE與l的斜率的乘積是定值-

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查一條定直線與一條動(dòng)直線的斜率的乘積是否為定值的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．