Question

已知A（4，0），B（0，3）和△AOB的內(nèi)切圓（x-1）²+（y-1）²=1，P（x，y）為圓周上一點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)P到直線l：3x+4y+3=0距離的最大值；
（2）若M=|PA|²+|PB|²，求M的最大值與最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用,三角函數(shù)的最值

專題：綜合題,數(shù)形結(jié)合

分析：（1）求出圓的圓心與半徑，利用圓心與直線的距離公式求出距離，即可求出點(diǎn)P到直線l：3x+4y+3=0距離的最大值；
（2）設(shè)出P的坐標(biāo)的參數(shù)形式，利用M=|PA|²+|PB|²，求出表達(dá)式，通過三角函數(shù)的有界性，求M的最大值與最小值．

解答： 解：（1）由已知圓心O'（1，1），r=1，
∴O'到直線l的距離d=

|3×1+4×1+3|

32+42

=2，
∴P（x，y）到直線l的距離最大值為d+r=2+1=3．
（2）設(shè)P（x，y），則點(diǎn)P滿足

x=1+cosθ y=1+sinθ

，
則M=|PA|²+|PB|²=（cosθ-3）²+（1+sinθ）²+（1+cosθ）²+（sinθ-2）²]
=17-（2sinθ+4cosθ）=17-2

5

sin(θ+φ)，
∴當(dāng)sin（θ+φ）=1時(shí)  Mmin=17-2

5

；
當(dāng)sin（θ+φ）=-1時(shí)   Mmax=17+2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，圓與直線的關(guān)系，圓的參數(shù)方程，三角函數(shù)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．