Question

曲線(xiàn)y=

4

ex+1

上任意一點(diǎn)處的切線(xiàn)傾斜角為α，則α的范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程

專(zhuān)題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：求出曲線(xiàn)解析式的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)基本不等式求出導(dǎo)函數(shù)的最小值，由曲線(xiàn)在P點(diǎn)切線(xiàn)的斜率為導(dǎo)函數(shù)的值，且直線(xiàn)的斜率等于其傾斜角的正切值，從而得到tanα的范圍，由α的范圍，根據(jù)正切函數(shù)的值域得到自變量α的范圍．

解答： 解：求導(dǎo)數(shù)可得y′=

4ex

(ex+1)2

=

4

ex+ 1 ex +2

，
∵ex+

1

ex

≥2，
∴0≤y′≤1，
又∵0≤α≤π，
∴0≤α≤

π

4

．
故答案為：0≤α≤

π

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)的方程，直線(xiàn)傾斜角與斜率的關(guān)系，以及正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)．要求學(xué)生掌握導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)的函數(shù)值即為過(guò)這點(diǎn)切線(xiàn)方程的斜率，且直線(xiàn)的斜率為傾斜角的正切值，掌握正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)．