【題目】(1)已知a,b,N都是正數(shù),a≠1,b≠1,證明對(duì)數(shù)換底公式:logaN=;
(2)寫(xiě)出對(duì)數(shù)換底公式的一個(gè)性質(zhì)(不用證明),并舉例應(yīng)用這個(gè)性質(zhì).
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析
【解析】
(1)設(shè)且,化為指數(shù)式,兩邊取對(duì)數(shù)可得,化簡(jiǎn)代入即可得出結(jié)果;(2)或.
(1)設(shè)logaN=x,則N=ax.
兩邊同時(shí)取b為底對(duì)數(shù),得logbN=logbax.
由對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì),得logbN=xlogba.
因?yàn)閍≠1,所以logba≠0,所以x=,于是logaN=.
或者:因?yàn)閍logaN=N,兩邊同時(shí)取b為底對(duì)數(shù),得logbalogaN=logbN.
由對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì),得logaNlogba=logbN.
因?yàn)閍≠1,所以logba≠0,所以logaN=.
(2)對(duì)數(shù)換底公式性質(zhì)(i):logaNlogba=logbN.
例如log23log38=log28=3.
對(duì)數(shù)換底公式性質(zhì)(ii):logablogba=1.
例如+=log102+log105=log1010=1.
對(duì)數(shù)換底公式性質(zhì)(iii):logNn=logaN.
例如log2781=log34=log33=.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】世紀(jì)年代,里克特(C.F.Richter)制定了一種表明地震能量大小的尺度,就是使用測(cè)震儀衡量地震能量的等級(jí),地震能量越大,測(cè)震儀記錄的地震曲線的振幅就越大.這就是我們常說(shuō)的里氏震級(jí),其計(jì)算公式為:,其中,是被測(cè)地震的最大振幅,是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅(使用標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是為了修正測(cè)震儀距實(shí)際震中的距離造成的偏差).(以下數(shù)據(jù)供參考:,,)
(1)根據(jù)中國(guó)地震臺(tái)網(wǎng)測(cè)定,年月日時(shí)分,新疆巴音郭楞蒙古自治州若羌縣發(fā)生地震,一個(gè)距離震中千米的測(cè)震儀記錄的地震最大振幅是,此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅是,計(jì)算這次地震的震級(jí)(精確到);
(2)年月日時(shí)分秒在我國(guó)四川省汶川地區(qū)發(fā)生特大地震,根據(jù)中華人民共和國(guó)地震局的數(shù)據(jù),此次地震的里氏震級(jí)達(dá),地震烈度達(dá)到度.此次地震的地震波已確認(rèn)共環(huán)繞了地球圈.地震波及大半個(gè)中國(guó)及亞洲多個(gè)國(guó)家和地區(qū),北至遼寧,東至上海,南至香港、澳門(mén)、泰國(guó)、越南,西至巴基斯坦均有震感.請(qǐng)計(jì)算汶川地震的最大振幅是級(jí)地震的最大振幅的多少倍?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)+ax2-x.
(Ⅰ)討論f(x)在[0,+∞)上的單調(diào)性;
(Ⅱ)若函數(shù)g(x)=f(x)+x有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,且x1<x2,求證:g(x2)>-ln2.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若在區(qū)間,上同時(shí)存在函數(shù)的極值點(diǎn)和零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
(2)如果對(duì)任意、,有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知向量函數(shù)的最小正周期為.
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)在中,角的對(duì)邊分別是,且滿足,求的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知圓錐的頂點(diǎn)為P,母線長(zhǎng)為4,底面圓心為O,半徑為2.
(1)求這個(gè)圓錐的體積;
(2)設(shè)OA,OB是底面半徑,且∠AOB=90°,M為線段AB的中點(diǎn),求異面直線PM與OB所成角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市舉行“中學(xué)生詩(shī)詞大賽”,分初賽和復(fù)賽兩個(gè)階段進(jìn)行,規(guī)定:初賽成績(jī)大于90分的具有復(fù)賽資格,某校有800名學(xué)生參加了初賽,所有學(xué)生的成績(jī)均在區(qū)間內(nèi),其頻率分布直方圖如圖.則獲得復(fù)賽資格的人數(shù)為( )
A. 520 B. 540 C. 620 D. 640
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知.
(Ⅰ)若函數(shù)在上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,最小值為,令,求的解析式及其最小值(注:為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
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