【題目】已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)+ax2-x.

(Ⅰ)討論f(x)在[0,+∞)上的單調(diào)性;

(Ⅱ)若函數(shù)g(x)=f(x)+x有兩個極值點x1,x2,且x1<x2,求證:g(x2)>-ln2.

【答案】(1)當(dāng)a≤0時,f(x)在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,f(x)在上單調(diào)遞增;

當(dāng)時,f(x)在上單調(diào)遞減,f(x)在上單調(diào)遞增;

(2)見解析.

【解析】

(Ⅰ)先對函數(shù)求導(dǎo)得,再對a分類討論得到f(x)在[0,+∞)上的單調(diào)性. (Ⅱ)先求導(dǎo),設(shè),得到g(x)在取得極大值,在取得極小值.求出,設(shè),所以.

(Ⅰ)解:,設(shè)

①當(dāng)a≤0時,h(x)<0,∴f(x)在上單調(diào)遞減;

②當(dāng)2a-1≥0,即時,h(x)≥0,∴f(x)在上單調(diào)遞增;

③當(dāng)2a-1<0,即時,時,h(x)<0,∴f(x)單調(diào)遞減;

時,h(x)>0,∴f(x)單調(diào)遞增.

綜上所述,當(dāng)a≤0時,f(x)在上單調(diào)遞減;

當(dāng)時,f(x)在上單調(diào)遞增;

當(dāng)時,f(x)在上單調(diào)遞減,f(x)在上單調(diào)遞增.

(Ⅱ)證明:,

,設(shè),

①若 a=0,,∴g(x)在上單調(diào)遞增,不合題意;

若a<0,∵,∴上只有一個根,不合題意;

若a>0,使有兩不同實根,且,只需,即a>2.

,,∴

∴g(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

∴g(x)在取得極大值,在取得極小值.

,

設(shè),∴m(t)在上是增函數(shù),

,∴.

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