Question

若函數(shù)f（x）（f（x）不恒為0）滿足：對(duì)一切實(shí)數(shù)x，y都有f（x）+f（y）=x（2y-1）
（1）求f（0），f（1）的值；
（2）求函數(shù)f（x）的解析式；
（3）若不等式f（x）＞

3

2

x+a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令x=y=0，令x=y=1，即可求出f（0），f（1）；
（2）令x=y，即可求出f（x）的解析式；
（3）運(yùn)用參數(shù)分離法，得到a＜x²-2x，主要求出x²-2x的最小值，令a小于最小值即可．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）滿足：對(duì)一切實(shí)數(shù)x，y都有
f（x）+f（y）=x（2y-1），
∴令x=y=0，則2f（0）=0，
∴f（0）=0，
令x=y=1，則2f（1）=1，
∴f（1）=

1

2

．
（2）令x=y則
f（x）=

x(2x-1)

2

即f（x）=x²-

1

2

x，
（3）∵不等式f（x）＞

3

2

x+a恒成立，
即

x(2x-1)

2

＞

3

2

x+a恒成立，
∴a＜x²-2x=（x-1）²-1，
∵（x-1）²-1≥-1，
∴a＜-1，即a的取值范圍是（-∞，-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)的函數(shù)值和解析式的求法，注意運(yùn)用賦值法和賦式，正確賦值或式是解題的關(guān)鍵，同時(shí)考查不等式恒成立的解法：分離參數(shù)，屬于中檔題．