Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

ex

1+ax

，其中a為正實(shí)數(shù)，若f（x）為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，單調(diào)函數(shù)的f′（x）≥0或f'（x）≤0恒成立即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵f（x）=

ex

1+ax

，
∴f′（x）=

ex(1+ax-axln?a)

(1+ax)2

，
要使f（x）為R上的單調(diào)函數(shù)，則f（x）為R上的單調(diào)增函數(shù)，或f（x）為R上的單調(diào)減函數(shù)；
①若f（x）為R上的單調(diào)增函數(shù)，
則f′（x）=

ex(1+ax-axln?a)

(1+ax)2

≥0恒成立，
即1+a^x-a^xlna≥0，
∴lna≤

1+ax

ax

=1+

1

ax

，
∴l(xiāng)na≤1，解得0＜a≤e；
②若若f（x）為R上的單調(diào)減函數(shù)，
則f′（x）=

ex(1+ax-axln?a)

(1+ax)2

≤0恒成立，
即1+a^x-a^xlna≤0，
∴l(xiāng)na≥

1+ax

ax

=1+

1

ax

，
此時(shí)不可能恒成立，
綜上0＜a≤e．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力．