Question

1．已知函數(shù)f（x）=x²-4a²lnx，若方程f（x）=2ax有唯一正實根，則實數(shù)a=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 方程f（x）=2ax有唯一正實根，即為x²-2ax=4a²lnx即有（x-a）²=a²（4lnx+1），作出函數(shù)y=（x-a）²和y=a²（4lnx+1）的圖象，發(fā)現(xiàn)可得它們相切時，有一個公共點，此時a＞0，設出切點（m，n），運用切線的斜率相等，點滿足曲線方程，解方程可得a．

解答 解：方程f（x）=2ax有唯一正實根，即為
x²-2ax=4a²lnx即有（x-a）²=a²（4lnx+1），
作出函數(shù)y=（x-a）²和y=a²（4lnx+1）的圖象，
發(fā)現(xiàn)可得它們相切時，有一個公共點，此時a＞0，
即方程有唯一正實根．
設出切點為（m，n），由y=（x-a）²的導數(shù)為y′=2（x-a），
y=a²（4lnx+1）的導數(shù)為y′=$\frac{4{a}^{2}}{x}$，
即有2（m-a）=$\frac{4{a}^{2}}{m}$，可得m=2a，
又（m-a）²=a²（4lnm+1），即有l(wèi)nm=0，
解得m=1，a=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，以及運算能力，屬于中檔題．