Question

對于函數(shù)g（x）=（x-1）²e^x，
（1）求g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）g（x）=3x在[1，+∞）是否存在兩個不同的解．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求得單調(diào)區(qū)間；
（2）令h（x）=（x-1）²e^x-3x  x∈[1，+∞），利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）g（x）=（x-1）²e^x，
∴g′（x）=（x+1）（x-1）e^x
∴由g′（x）＞0得，x＜-1或x＞1；由g′（x）＜0得，-1＜x＜1；
∴g（x）的遞增區(qū)間是（-∞，-1）和（1，+∞），遞減區(qū)間是（-1，1）．
（2）g（x）=3x在[1，+∞）存在兩個不同的解，等價于g（x）=3x在[1，+∞）有兩個不等的根．
令h（x）=（x-1）²e^x-3x，x∈[1，+∞）
h′（x）=（x²-1）e^x-3，h^″（x）=（x-1）²e^x，
∴h^″（x）≥0，h′（x）是[1，+∞）上的增函數(shù)，又h′（1）=-3＜0，h′（2）=3e²-3＞0，
∴存在x₀∈（1，2）使得h′（x₀）=0，故h（x）在（1，x₀）單調(diào)遞減，在（x₀，2）單調(diào)遞增，
又h（1）=-3，
∴g（x）=3x在[1，+∞）至多有一個解，故不存在．

點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)區(qū)間知識，考查學(xué)生問題的轉(zhuǎn)化劃歸能力及運算能力，屬難題．