Question

在平面直角坐標系xOy中，經(jīng)過點（0，

2

）且斜率為k的直線l與橢圓

x2

2

+y2=1有兩個不同的交點P、Q，
（Ⅰ）若|PQ|=

4

3

；求直線l的斜率k的值；
（Ⅱ）設橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A、B，是否存在常數(shù)k，使得向量

OP

+

OQ

與

AB

共線，如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）直線l：y=kx+

2

，由

y=kx+ 2 x2 2 +y2=1

，得(

1

2

+k2)x2+2

2

kx+1=0，由此能求出直線l的斜率k的值．
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則

OP

+

OQ

=(x1+x2，y1+y2)，

OP

+

OQ

與

AB

共線等價于x1+x2=-

2

(y1+y2)，由此能求出不存在這樣的常數(shù)k滿足條件．

解答： （本小題12分）
解：（1）∵直線l經(jīng)過點（0，

2

）且斜率為k，
∴l：y=kx+

2

，…（1分）
由

y=kx+ 2 x2 2 +y2=1

，得(

1

2

+k2)x2+2

2

kx+1=0，…（3分）
由△=8k²-（2+4k²）＞0，得k2＞

1

2

，…（4分）
∴|PQ|=

1+k2• 4k2-2 1 2 +k2

=

4

3

，解得k²=1，或k2=-

11

10

（舍）
∴k=±1．…（6分）
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則

OP

+

OQ

=(x1+x2，y1+y2)…（7分）
∵x1+x2=-

2 2 k

1 2 +k2

，y₁+y₂=k（x₁+x₁）+2

2

=

2

1 2 +k2

，…（9分）
∴

OP

+

OQ

與

AB

共線等價于x1+x2=-

2

(y1+y2)，…（10分）
由上述式子得：k=

2

2

…（11分）
又∵k2 ＞

1

2

，∴不存在這樣的常數(shù)k滿足條件．…（12分）

點評：本題考查直線的斜率的值的求法，考查滿足條件的常數(shù)是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意向量共線的條件的合理運用．