Question

如圖甲正三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊的中點(diǎn)，先將△ABC沿CD折疊成直二面角A-DC-B（如圖乙），在乙圖中：
（Ⅰ）求二面角E-DF-C的余弦值；
（Ⅱ）在線段BC上找一點(diǎn)P，使AP⊥DE，并求BP．
（Ⅲ）求三棱錐D-ABC外接球的表面積．（只需用數(shù)字回答，可不寫(xiě)過(guò)程）

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,球的體積和表面積,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出∠ADB是二面角A-CD-B的平面角，過(guò)M作MN⊥DF于點(diǎn)N，連結(jié)EN，則∠MNE是二面角E-DF-N的平面角，由此能求出二面角E-DF-C的余弦值．
（Ⅱ）在線段BC上取點(diǎn)P，使BP=

1

3

BC=

4

3

，過(guò)P作PQ⊥CD于Q，由此能求出結(jié)果．
（3）分別以CD、BD、AD為棱構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體，則這個(gè)長(zhǎng)方體的外接球就是三棱錐D-ABC外接球，由此能求出三棱錐D-ABC外接球的表面積．

解答： 解：（Ⅰ）∵AD⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ADB是二面角A-CD-B的平面角
∴AD⊥BD∴AD⊥平面BCD，取CD的中點(diǎn)M，
這時(shí)EM∥AD，∴EM⊥平面BCD
過(guò)M作MN⊥DF于點(diǎn)N，連結(jié)EN，則EN⊥DF
∴∠MNE是二面角E-DF-N的平面角
在 Rt△EMN中，EM=

1

2

AD=

1

4

AB=1，MN=

3

2

，
∴EN=

7

2

，cos∠MNE=

21

7

，
∴二面角E-DF-C的余弦值為

21

7

．
（Ⅱ）在線段BC上取點(diǎn)P，
使BP=

1

3

BC=

4

3

，
過(guò)P作PQ⊥CD于Q，
∴PQ⊥平面ACD，
∵DQ=

1

3

DC=

2 3

3

，
在等邊△ADE中，
∠DAQ=30°，
∴AQ⊥DE，∴AP⊥DE．
（3）∵正三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，CD是AB邊上的高，
將△ABC沿CD折疊成直二面角A-DC-B，
∴CD、BD、AD兩兩垂直，AD=BD=2，CD=

42-22

=2

3

，
分別以CD、BD、AD為棱構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體，
則這個(gè)長(zhǎng)方體的外接球就是三棱錐D-ABC外接球，
∴三棱錐D-ABC外接球的半徑R=

1

2

22+22+(2 3 )2

=

5

，
∴三棱錐D-ABC外接球的表面積S=4πR²=20π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角的余弦值的求法，考查滿足條件的點(diǎn)的判斷，考查三棱錐的外接球的表面積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．