Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，橢圓C與過原點的直線相交于A、B兩點，連接AF、BF，若|AB|=8，|BF|=4，且cos∠ABF=

1

2

，則橢圓C的離心率是（　�。�

• A、

  1

  2

• B、

  3

  2

• C、

  3

  3

• D、

  3

  -1

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：在△AFB中，由余弦定理求出|AF|=4

3

．得到AF⊥BF，設E為橢圓的右焦點，連接BE，AE．根據(jù)對稱性得四邊形AFBE是矩形．由此能求出結果．

解答： 解：如圖所示，在△AFB中，由余弦定理，
得|AF|²=|AB|²+|BF|²-2|AB||BF|cos∠ABF，
∴|AF|²=8²+4²-2×8×4×

1

2

=48，解得|AF|=4

3

．
∴AF⊥BF，
設E為橢圓的右焦點，連接BE，AE．
根據(jù)對稱性得四邊形AFBE是矩形．
∴|BE|=4

3

，|FF|=8．
∴2a=4

3

+4，2c=8，解得a=2

3

+2，c=4．
∴e=

c

a

=

4

2 3 +2

=

3

-1．
故選D．

點評：本題考查橢圓的離心率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意余弦定理的合理運用．