Question

將一個水平放置的正方形ABCD繞直線AB向上轉動45°到ABC₁D₁，再將所得正方形ABC₁D₁繞直線BC₁向上轉動45°到A₂BC₁D₂，則平面A₂BC₁D₂與平面ABCD所成二面角的正弦值等于

 

．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：空間角

分析：利用三面角的第二余弦定理，建立等式，即可求解．

解答： 解：先來證明三面角的第二余弦定理：在三面角O-ABC中，設二面角B-OA-C為α，則有：cosα×sin∠AOB×sin∠AOC+cos∠AOB×cos∠AOC=cos∠BOC
在OA上取一點D，過D作OD的垂線DE、DF分別交OB、OC于E與F．接著使用向量證明．考慮有向線段OD、OE、OF、DE、DF．易知：cosα=

DE • DF

| DE || DF |

，sin∠AOB=

DE

OE

，sin∠AOC=

DF

OF

，
cos∠AOB=

OD • OE

| OD || OE |

，cos∠AOC=

OD • OF

| OD || OF |

，cos∠BOC=

OE • OF

| OE || OF |

則實際是要證明：

DE • DF

| DE || DF |

×

DE

OE

×

DF

OF

+

OD • OE

| OD || OE |

×

OD • OF

| OD || OF |

=

OE • OF

| OE || OF |

利用

OD

•

OE

=

OD

•

OF

=

OD

2可得出原式等價于

OD

2+

DE

•

DF

=

OE

•

OF

∵

OE

•

OF

=(

OD

+

DE

)•(

OD

+

DF

)=

OD

2+

OD

•

DE

+

OD

•

DF

+

DE

•

DF

，

OD

•

DE

=

OD

•

DF

=0，∴可證明原式．
令∠ABC為α，α=90°，平面A₂BCD₂與平面ABCD所成角為A，二面角C₁-AB-D為D，二面角D₁-BC₁-E為B；
根據三面角的第二余弦定理有：cosA=-cosDcosB+sinDsinBcosα，所以cosA=-cos45°cos（180°-45°）+sin45°sin（180°-45°）cos90°，所以cosA=0.5，所以sinA=

3

2

．
故答案為：

3

2

．

點評：本題考查面面角，考查第二余弦定理，考查學生分析解決問題的能力，難度較大．