Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱A₁A⊥底面ABC，AB⊥BC，E是A₁C的中點(diǎn)，D在線段AC上，并且DE⊥A₁C，已知A₁A=AB=

2

，BC=2．
（1）求證：A₁C⊥平面EDB．
（2）求三棱錐E-BCD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）利用已知可得A₁A⊥AB，利用定義三角形的性質(zhì)可得A₁C⊥BE，又已知A₁C⊥ED，利用線面垂直的判定定理即可證明；
（2）證明△BDE是直角三角形，利用

1

3

S_△BDE•CE，計(jì)算三棱錐E-BCD的體積．

解答： （1）證明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱A₁A⊥底面ABC，
∴A₁A⊥AB，
Rt△A₁AB中，A₁A=AB=

2

，
∴A₁B=2，∴△A₁BC是等腰三角形．
∵E是等腰△A₁BC底邊A₁C的中點(diǎn)，∴A₁C⊥BE，
又依條件知A₁C⊥ED，且ED∩BE=E，
∴A₁C⊥平面EDB；
（2）解：Rt△A₁AC中，A₁A=

2

，AC=

6

，∴∠A₁CA=30°，
DE=CEtan∠A₁CA=

6

3

，CD=

2 6

3

，AD=

6

3

，
在Rt△ABC中，AB=

2

，BC=2，cos∠CAB=

3

3

，
由余弦定理可得BD=

2 3

3

，
在等腰直角三角形A₁BC中，BE=

1

2

A₁C=

2

，
在△BDE中，∵BD²+DE²=2=BE²，∴△BDE是直角三角形，
由（1）知，A₁C⊥平面EDB，
∴三棱錐E-BCD的體積

1

3

S_△BDE•CE=

2

9

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握直三棱柱的性質(zhì)、線面垂直的判定和性質(zhì)定理、等腰三角形的性質(zhì)等是解題的關(guān)鍵．