Question

某同學(xué)將一塊底邊長為5的等腰直角三角板按如圖所示的方式放置在平面直角坐標(biāo)系上，其中∠OMN=

π

2

，函數(shù)f（x）=Asin（ωx），（A＞0，ω＞0），
（1）若函數(shù)f（x）在同一周期內(nèi)的圖象過點(diǎn)O，M，N，求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若將該三角板繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α(0＜α＜

π

2

)時(shí)；頂點(diǎn)M′，N′恰好同時(shí)落在曲線y=

k

x

（x≠0）上，求實(shí)數(shù)k的值；
（3）若當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象恰好都落在△OMN內(nèi)（允許落在△OMN的邊界上），求當(dāng)么取最大值時(shí)，函數(shù)g（x）=cos（ωx+A）在區(qū)間[0，π]上的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意知

T

2

=

π

ω

=π，可求ω，A為點(diǎn)M到邊ON的距離；
（2）三角板逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，頂點(diǎn)M′（

2 π

2

cos(α+45°)，

2 π

2

sin(α+45°)），N′（πcosα，πsinα），代入曲線y=

k

x

可解k；
（3）可知線段OM始終不位于y=f（x）圖象的下方，設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)O處的切線為l，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點(diǎn)斜式可得l的方程，于是有x≥Ax在區(qū)間[0，

π

2

]上恒成立，可求A的最大值，進(jìn)而得g（x），由三角函數(shù)的性質(zhì)可求g（x）的最值；

解答： 解：（1）依題意可知

T

2

=

π

ω

=π，ω=1，
又最大值A(chǔ)為點(diǎn)M到邊ON的距離，且△OMN為等腰直角三角形，
∴A=

π

2

，
∴f（x）=

π

2

sinx．
（2）將該三角板繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α(0＜α＜

π

2

)時(shí)，頂點(diǎn)M′（

2 π

2

cos(α+45°)，

2 π

2

sin(α+45°)），N′（πcosα，πsinα），
 代入y=

k

x

，得

2 π 2 sin(α+45°)= k 2 π 2 cos(α+45°) πsinα= k πcosα

，
解得k=

5 π

10

．
（3）可知線段OM始終不位于y=f（x）圖象的下方，
設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)O處的切線為l，
∵f′（x）=Acosx，∴直線l的斜率為f′（0）=A，故l：y=Ax，
∵x≥Ax在區(qū)間[0，

π

2

]上恒成立，∴A的最大值為1，此時(shí)g（x）=cos（x+1），
∵x∈[0，π]，∴x+1∈[1，π+1]，
故當(dāng)x+1=1，即x=0時(shí)，函數(shù)g（x）有最大值為g（0）=cos1，；
當(dāng)x+1=π，即x=π-1時(shí)，函數(shù)g（x）有最小值為g（π-1）=-1．

點(diǎn)評：該題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、曲線與方程、函數(shù)恒成立等知識，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力．