Question

（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)，其中和是實(shí)數(shù)，曲線恒與軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)．

求常數(shù)的值；

當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

求證：．

Answer 1

(1) ；(2) ；(3) 詳見(jiàn)解析

【解析】

試題分析：(1)根據(jù)題中條件：曲線恒與軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)，可見(jiàn)有：，即可對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得：，根據(jù)條件知，可求得；(2) 由(1)得，，觀察其特點(diǎn)對(duì)其求導(dǎo)可得：，觀察所得導(dǎo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，再次對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)得：，其中含有a，對(duì)其進(jìn)行分類討論：① 當(dāng)時(shí)，由于，有，于是在上單調(diào)遞增，從而，因此在上單調(diào)遞增，即而且僅有；②當(dāng)時(shí)，由于，有，于是在上單調(diào)遞減，從而，因此在上單調(diào)遞減，即而且僅有；③當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，，于是；(3) 對(duì)要證明的不等式等價(jià)變形如下：

所以可以考慮證明：對(duì)于任意的正整數(shù)，不等式恒成立. 并且繼續(xù)作如下等價(jià)變形，可聯(lián)想到題中函數(shù)相當(dāng)于（2）中，情形，有在上單調(diào)遞減，即而且僅有，可取，當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，. 從而對(duì)于任意正整數(shù)都有成立；對(duì)于相當(dāng)于（2）中情形，對(duì)于任意，恒有而且僅有. 取，得：對(duì)于任意正整數(shù)都有成立，因此對(duì)于任意正整數(shù)，不等式恒成立，這樣依據(jù)不等式，再令利用左邊，令 利用右邊，即可得到成立.

試題解析：(1)在上單調(diào)遞減，從而，因此在上單調(diào)遞減，

即而且僅有.

綜上可知，所求實(shí)數(shù)的取值范圍是(1) 對(duì)求導(dǎo)得：，根據(jù)條件知，所以. (3分)

(2) 由(1)得，

.

① 當(dāng)時(shí)，由于，有，于是在上單調(diào)遞增，從而，因此在上單調(diào)遞增，即而且僅有；

②當(dāng)時(shí)，由于，有，于是在上單調(diào)遞減，從而，因此在上單調(diào)遞減，即而且僅有；

③當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，，于是. （8分）

(3) 對(duì)要證明的不等式等價(jià)變形如下：

所以可以考慮證明：對(duì)于任意的正整數(shù)，不等式恒成立. 并且繼續(xù)作如下等價(jià)變形

對(duì)于相當(dāng)于（2）中，情形，有在上單調(diào)遞減，即而且僅有.

取，當(dāng)時(shí)，成立；

當(dāng)時(shí)，.

從而對(duì)于任意正整數(shù)都有成立.

對(duì)于相當(dāng)于（2）中情形，對(duì)于任意，恒有而且僅有. 取，得：對(duì)于任意正整數(shù)都有成立.

因此對(duì)于任意正整數(shù)，不等式恒成立.

這樣依據(jù)不等式，再令利用左邊，令 利用右邊，即可得到成立. (12分)

考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)來(lái)描述原函數(shù)的單調(diào)性；2. 導(dǎo)數(shù)來(lái)描述原函數(shù)的極值；3.函數(shù)零點(diǎn)