Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為矩形，SA⊥底面ABCD，M為SD的中點，且SA=AD=2AB．
（1）求證：AM⊥SC；
（2）求二面角S-AC-M的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由已知得CD⊥平面SAD，從而AM⊥CD，由等腰三角形性質得AM⊥SD，從而AM⊥平面SCD，由此能證明AM⊥SC．
（2）以A為坐標原點，AB為x軸，AD為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角S-AC-M的余弦值．

解答： （1）證明：∵CD⊥AD，CD⊥SA，
∴CD⊥平面SAD，又AM?平面SAD，
∴AM⊥CD，又∵SA=AD，M為SD中點，
∴AM⊥SD，
∴AM⊥平面SCD，又SC?平面SCD，
∴AM⊥SC．
（2）解：以A為坐標原點，AB為x軸，AD為y軸，
AS為z軸，建立空間直角坐標系，
設SA=AD=2AB=2，
則A（0，0，0），S（0，0，2），
C（1，2，0），M（0，1，1），

AS

=(0，0，2)，

AC

=(1，2，0)，

AM

=(0，1，1)，
設平面SAC的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • AS =2z=0 n • AC =x+2y=0

，取y=1，得

n

=(-2，1，0)，
設平面ACM的法向量

m

=(a，b，c)，
則

m • AM =b+c=0 m • AC =a+2b=0

，取b=1，得

m

=(-2，1，-1)，
cos＜

m

，

n

＞=

4+1

5 6

=

30

6

．
∴二面角S-AC-M的余弦值為

30

6

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．