Question

如圖，四面體ABCD中，點(diǎn)A在平面BCD上的射影O在BD上，點(diǎn)M、N分別是BC、BD的中點(diǎn)，AM與平面BCD成45°角，BC⊥CD，∠BDC=30°，BC=2，BO=1
（1）求證：MN∥平面ACD；
（2）求CA與平面AMN所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求直線與平面的夾角,直線與平面平行的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）由題設(shè)條件推導(dǎo)出MN是△BCD的中位線，由此能證明MN∥平面ACD．
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，OB為x軸，以O(shè)C為y軸，以O(shè)A為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-BC-D的大小．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)M、N分別是BC、BD的中點(diǎn)，
∴MN是△BCD的中位線，
∴MN∥CD，
∵CD不包含于平面ANM，MN?平面ANM，
∴MN∥平面ACD．
（2）以O(shè)為原點(diǎn)，OB為x軸，以O(shè)C為y軸，以O(shè)A為z軸，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，
∵AM與平面BCD成45°角，BC⊥CD，∠BDC=30°，BC=2，BO=1，
∴O（0，0，0），A（0，0，

3

），B（1，0，0），C（0，

3

，0），D（-1，0，0），
∵AO⊥平面OCD，
∴平面BCD的法向量

AO

=（0，0，-

3

），
設(shè)平面ABC的法向量

n

=（x，y，z），

AB

=（0，1，-

3

），

BC

=（-1，

3

，0），
由

n • AB =0 n • BC =0

，得

x- 3 z=0 -x+ 3 y=0

，

n

=（

3

，1，1），
設(shè)

n

與

AO

夾角為θ，
則cosθ=|

n • AO

| n |•| AO |

|=

5

5

，
∴sinθ=

1-( 5 5 )2

=

2 5

5

．
∴二面角A-BC-D的正弦值為

2 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要注意向量法的合理運(yùn)用．