Question

13．已知點F₁（-2$\sqrt{2}$，0），F(xiàn)₂（2$\sqrt{2}$，0），動點P為曲線C上任意點且滿足|PF₁|+|PF₂|=4$\sqrt{3}$．
（1）求曲線C的方程；
（2）若斜率為1的直線l與曲線C交于A、B兩點，且P（-3，2）在線段AB的垂直平分線上，求△PAB的面積．

Answer 1

分析 （1）由已知可得曲線C為橢圓，且2a=4$\sqrt{3}$．c=2$\sqrt{2}$，求出b²=a²-c²可得答案；
（2）設直線l：y=x+b，求出直線方程，進而求出△PAB的底邊長和高，可得△PAB的面積．

解答 解：（1）由已知可得C是2a=4$\sqrt{3}$．c=2$\sqrt{2}$的橢圓，
故a=2$\sqrt{3}$，b²=a²-c²=4，
故線C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）設直線l：y=x+b與C兩個不同的交點坐標為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則線段AB的垂直平分線方程為：y=-x+a，
將P（-3，2）代入得：a=-1，故線段AB的垂直平分線方程為：y=-x-1；
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1\\ y=x+b\end{array}\right.$得：4x²+6bx+3b²-12=0，
故x₁+x₂=$-\frac{6b}{4}$=$-\frac{3b}{2}$，
則線段AB的中點坐標為：（$-\frac{3b}{4}$，$\frac{4}$），
將其代入y=-x-1得：b=2，
故直線l：y=x+2，即x-y+2=0，
P到AB的距離d=$\frac{|-3-2+2||}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{4}\sqrt{2}$，
AB=$\sqrt{2}$|x₁-x₂|=$\sqrt{2}$×3=3$\sqrt{2}$，
故求△PAB的面積S=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}\sqrt{2}$×3$\sqrt{2}$=$\frac{9}{4}$．

點評 本題考查的知識點是橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，難度中檔．