Question

設(shè)函數(shù)f（x）=log₃（9x）•log₃（3x），且

1

9

≤x≤9．
（Ⅰ）求f（3）的值；
（Ⅱ）令t=log₃x，將f（x）表示成以t為自變量的函數(shù)；并由此，求函數(shù)f（x）的最大值與最小值及與之對應(yīng)的x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式求得f（3）的值．
（Ⅱ）令t=log₃x，則-2≤t≤2，且f（x）=t²+3t+2，令g（t）=t²+3t+2=(t+

3

2

)2-

1

4

，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得g（t）的最值以及此時(shí)對應(yīng)的x的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=log₃（9x）•log₃（3x），且

1

9

≤x≤9，
故f（3）=log₃27•log₃9=3×2=6．
（Ⅱ）令t=log₃x，則-2≤t≤2，且f（x）=（log₃x+2）（1+log₃x）=t²+3t+2，
令g（t）=t²+3t+2=(t+

3

2

)2-

1

4

，
故當(dāng)t=-

3

2

時(shí)，函數(shù)g（t）取得最小值為-

1

4

，此時(shí)求得x=3-

3

2

=

3

9

；
當(dāng)t=2時(shí)，函數(shù)g（t）取得最大值為12，此時(shí)求得x=9．

點(diǎn)評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．