Question

如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、H分別是棱A₁B₁，D₁C₁上的點(diǎn)（點(diǎn)E與B₁不重合），且EH∥A₁D₁，過EH的平面與棱BB₁，CC₁相交，交點(diǎn)分別為F，G
（Ⅰ）證明：AD∥平面EFGH
（Ⅱ）設(shè)AB=2AA₁=2a，在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁內(nèi)隨機(jī)選取一點(diǎn)，記該點(diǎn)取自于幾何體A₁ABFE-D₁DCGH內(nèi)的概率為p，當(dāng)點(diǎn)E、F分別在棱A₁B₁，B₁B上運(yùn)動(dòng)且滿足EF=a時(shí)，求p的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定,幾何概型

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）證明AD∥平面EFGH，只需證明AD∥EH；
（Ⅱ）根據(jù)幾何槪型的概率公式，結(jié)合基本不等式求出取自于幾何體A₁ABFE-D₁DCGH內(nèi)的概率為p的最小值，即可求出概率．

解答： （Ⅰ）證明：∵AD∥A₁D₁，EH∥A₁D₁，
∴AD∥EH，
∵AD?平面EFGH，EH?平面EFGH
∴AD∥平面EFGH；
（Ⅱ）解：根據(jù)幾何槪型的概率公式可知，點(diǎn)取自于幾何體A₁ABFE-D₁DCGH內(nèi)的概率為P=

VA1ABFE-D1DCGH

VABCD-A1B1C1D1

，
∴若p最小，則只需幾何體A₁ABFE-D₁DCGH的體積最小，即五邊形A₁ABFE的面積最小，等價(jià)為三角形EFB₁的面積最大，
∵EF=a，
∴B1E2+B1F2=a²，
則S_△B1EF=

1

2

B1E•B1F≤

1

4

（B₁E²+B₁F²）=

a2

4

，當(dāng)且僅當(dāng)B₁F=B₁E時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)五邊形A₁ABFE的面積最小為2a²-

a2

4

=

7a2

4

，
則取自于幾何體A₁ABFE-D₁DCGH內(nèi)的概率為P=

VA1ABFE-D1DCGH

VABCD-A1B1C1D1

=

7

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線面平行，考查幾何槪型的概率計(jì)算，根據(jù)體積槪型結(jié)合基本不等式求出最值是解決本題的關(guān)鍵．