Question

已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F（

1

2

，0）的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是

1

2

．
（1）求曲線C的方程；
（2）P是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B，C在y軸上，圓（x-1）²+y²=1內(nèi)切于△PBC，求△PBC面積的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)P（x，y）是曲線C上任意一點(diǎn)，那么點(diǎn)P（x，y）滿足：

(x- 1 2 )2+y2

-x=

1

2

，x＞0，由此能求出曲線C的方程．
（2）設(shè)P（x₀，y₀），B（0，b），C（0，c），不妨設(shè)b＞c．直線PB的方程（y₀-b）x-x₀y+x₀b=0．由圓心（1，0）到PB的距離為1，得（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，同理（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0．由此能求出S_△PBC的最小值為8．

解答： 解：（1）設(shè)P（x，y）是曲線C上任意一點(diǎn)，
那么點(diǎn)P（x，y）滿足：

(x- 1 2 )2+y2

-x=

1

2

，x＞0，化簡得y²=2x，x＞0．
∴曲線C的方程是y²=2x，x＞0．…（5分）
（2）設(shè)P（x₀，y₀），B（0，b），C（0，c），不妨設(shè)b＞c．
直線PB的方程：y-b=

y0-b

x0

x，
化簡得 （y₀-b）x-x₀y+x₀b=0．
又圓心（1，0）到PB的距離為1，

|y0-b+x0b|

(y0-b)2+x02

=1，
故(y0-b)2+x02=(y0-b)2+2x0b(y0-b)+x02b2，
由題意知x₀＞2，上式化簡得（x₀-2）b²+2y₀b-x₀=0，
同理有（x₀-2）c²+2y₀c-x₀=0．
∴b+c=

-2y0

x0-2

，bc=

-x0

x0-2

，則（b-c）²=

4x02+4y02-8x0

(x0-2)2

．
∵P（x₀，y₀）是拋物線上的點(diǎn)，有y02=2x0，
則（b-c）²=

4x02

(x0-2)2

，b-c=

2x0

x0-2

．
∴S△PBC=

1

2

(b-c)•x0
=

x0

x0-2

•x0
=（x₀-2）+

4

x0-2

+4≥2

4

+4=8．…（11分）
當(dāng)（x₀-2）²=4時(shí)，上式取等號(hào)，此時(shí)x0=4，y0=±2

2

．
因此S_△PBC的最小值為8． …（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線方程的求法，考查三角形面積的最小值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意均值定理的合理運(yùn)用．