Question

如圖，已知橢圓E的中心是原點(diǎn)O，其右焦點(diǎn)為F（2，0），過(guò)x軸上一點(diǎn)A（3，0）作直線l與橢圓E相交于P，Q兩點(diǎn)，且|PQ|的最大值為2

6

．

（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)

AP

=λ

AQ

（λ＞1），過(guò)點(diǎn)P且平行于y軸的直線與橢圓E相交于另一點(diǎn)M，試問(wèn)M，F(xiàn)，Q是否共線，若共線請(qǐng)證明；反之說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的應(yīng)用

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）利用|PQ|的最大值為2

6

，求出a，利用右焦點(diǎn)為F（2，0），求出c，可得b，即可求橢圓E的方程；
（Ⅱ）M，F(xiàn)，Q三點(diǎn)共線，證明

FM

=-λ

FQ

，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵|PQ|的最大值為2

6

，
∴2a=2

6

，
∴a=

6

，
∵右焦點(diǎn)為F（2，0），
∴c=2，
∴b=

a2-c2

=

2

，
∴橢圓E的方程為

x2

6

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）M，F(xiàn)，Q三點(diǎn)共線．
證明：設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則

AP

=（x₁-3，y₁），

AQ

=（x₂-3，y₂），
由已知得方程組

x1-3=λ(x2-3) y1=λy2 x12 6 + y12 2 =1 x22 6 + y22 2 =1

，注意到λ＞1，解得x₂=

5λ-1

2λ

，
∵F（2，0），M（x₁，-y₁），
∴

FM

=（x₁-2，-y₁）=-λ（

λ-1

2λ

，y₂），
又

FQ

=（x₂-3，y₂）=（

λ-1

2λ

，y₂），
∴

FM

=-λ

FQ

，從而三點(diǎn)共線．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程與橢圓的基本性質(zhì)，考查向量的共線問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．